Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + \sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.2.2

Перенесем ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.3

По правилу суммы производная $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 13.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 13.3

Перенесем ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 14

По правилу суммы производная $x + x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 17

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 18

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 20.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 22

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}))$

Этап 23

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$

Этап 23.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$ .

$(1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) \frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$