Математический анализ Примеры

$x^{3} y - 2 x^{2} + y^{4} = 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y - 2 x^{2} + y^{4}) = \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} y - 2 x^{2} + y^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 2.2.4

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - 4 x + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - 4 x + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - 4 x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - 4 x + 4 y^{3} y'$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + 4 y^{3} y' - 4 x$

Этап 3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + 4 y^{3} y' - 4 x = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} y' + 4 y^{3} y' - 4 x = - 3 x^{2} y$

Этап 5.1.2

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} y' + 4 y^{3} y' = - 3 x^{2} y + 4 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x^{3} y' + 4 y^{3} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + 4 y^{3} y' = - 3 x^{2} y + 4 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $4 y^{3} y'$ .

$y' (x^{3}) + y' (4 y^{3}) = - 3 x^{2} y + 4 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{3}) + y' (4 y^{3})$ .

$y' (x^{3} + 4 y^{3}) = - 3 x^{2} y + 4 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (x^{3} + 4 y^{3}) = - 3 x^{2} y + 4 x$ на $x^{3} + 4 y^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (x^{3} + 4 y^{3}) = - 3 x^{2} y + 4 x$ на $x^{3} + 4 y^{3}$ .

$\frac{y' (x^{3} + 4 y^{3})}{x^{3} + 4 y^{3}} = \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 4 y^{3}} + \frac{4 x}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{3} + 4 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{3} + 4 y^{3})}{x^{3} + 4 y^{3}} = \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 4 y^{3}} + \frac{4 x}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 4 y^{3}} + \frac{4 x}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y + 4 x}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2} y + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (- 3 x y) + 4 x}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$y' = \frac{x (- 3 x y) + x \cdot 4}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x y) + x \cdot 4$ .

$y' = \frac{x (- 3 x y + 4)}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x y) + 4)}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x y) - 1 (- 4))}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x y) - 1 (- 4)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x y - 4))}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перепишем $- (3 x y - 4)$ в виде $- 1 (3 x y - 4)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x y - 4))}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x (3 x y - 4)}{x^{3} + 4 y^{3}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x y - 4)}{x^{3} + 4 y^{3}}$