Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos^{2} (x)}{2 - 2 \sin (x)}$

Этап 1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (x)}{2 - 2 \sin (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Этап 2.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$3 \frac{\cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Этап 2.1.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - 2 \sin (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin (x)}$

Этап 2.1.3.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{0}{2 - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Этап 2.1.3.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \frac{0}{2 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$3 \frac{0}{2 - 2 \sin (\frac{π}{2})}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$3 \frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 \frac{0}{2 - 2}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (x)}{2 - 2 \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3.5

По правилу суммы производная $2 - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.7.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{0 - 2 \cos (x)}$

Этап 2.3.8

Вычтем $2 \cos (x)$ из $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{- 2 \cos (x)}$

Этап 2.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{- 2 \cos (x)}$

Этап 2.4.1.2

Перепишем это выражение.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3$