Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{8} - 5 x^{3}}}{3 x^{4} + 4}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8} - 5 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} x^{5} - 5 x^{3}}}{3 x^{4} + 4}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 5 x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 5}}{3 x^{4} + 4}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Этап 1.2

Перепишем $x^{3} (x^{5} - 5)$ в виде $x^{2} (x (x^{5} - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Этап 1.2.2

Добавим круглые скобки.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (x (x^{5} - 5))}}{3 x^{4} + 4}$

Этап 1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{4}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \sqrt{x (x^{5} - 5)}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x (x^{5} - 5)})}{x^{4}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x (x^{5} - 5)})}{x \cdot x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x \cdot x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 4

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{1} x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{1 + 5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{6} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{6} - 5 x}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{6} - 5 x}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{6} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{5} - 5 x}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{5} + x \cdot - 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $- \sqrt{x^{6}} = x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x^{6}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 9.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 9.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 10

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{5}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 11.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 12

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{5}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 13

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 13.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 13.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 13.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{4}}}$

Этап 13.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Этап 14

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разделим $1 - 5 \cdot 0$ на $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Этап 15.2

Разделим $- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{3 + 4 \cdot 0}$

Этап 15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{3 + 4 \cdot 0}$

Этап 15.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Этап 15.3.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3 + 4 \cdot 0}$

Этап 15.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3 + 0}$

Этап 15.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Этап 15.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Этап 15.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{3}$