Математический анализ Примеры

$y = x^{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{x})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = x$ и $g = x$ .

$\frac{d}{d y} [x] (x \cdot x^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Этап 3.2

Умножим $x$ на $x^{x - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $x$ на $x^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (x^{1} x^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d y} [x] x^{1 + x - 1} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] x^{x + 0} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{d}{d y} [x] x^{x} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' x^{x} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' x^{x} + x' (x^{x} \ln (x))$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x' = 1$ .

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x' = 1$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$ .

$x' x^{x} + x' x^{x} \ln (x) = 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x' x^{x}$ из $x' x^{x} + x' x^{x} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x' x^{x}$ из $x' x^{x}$ .

$x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x) = 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x' x^{x}$ из $x' x^{x} \ln (x)$ .

$x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x) = 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x' x^{x}$ из $x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x)$ .

$x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$ на $x^{x} (1 + \ln (x))$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$ на $x^{x} (1 + \ln (x))$ .

$\frac{x' x^{x} (1 + \ln (x))}{x^{x} (1 + \ln (x))} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' x^{x} (1 + \ln (x))}{x^{x} (1 + \ln (x))} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (1 + \ln (x))}{1 + \ln (x)} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $1 + \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (1 + \ln (x))}{1 + \ln (x)} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$