Математический анализ Примеры

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в точке $0$ и запишем в виде суммы пределов.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x)]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Найдем значение $\arctan (x)$ в $0$ и в $t$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Этап 7

Найдем значение $\arctan (x)$ в $t$ и в $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Этап 8

Вычислим пределы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Этап 8.2

Найдем предел $\arctan (0)$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- \infty$ .

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Этап 8.3

Предел, когда $t$ стремится к $- \infty$ , равен $- \frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Этап 8.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Этап 8.5

Предел, когда $t$ стремится к $\infty$ , равен $\frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Этап 8.6

Найдем предел $\arctan (0)$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Этап 8.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Этап 8.7.1.2

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Этап 8.7.1.3

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

Этап 8.7.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

Этап 8.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π}{2}$

Этап 8.7.3

Добавим $π$ и $π$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$π$

Десятичная форма:

$3.14159265 \dots$