Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 4

Пусть $u = - \frac{x}{3}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{3} d x$ , следовательно $- 3 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим $6$ на $3$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Этап 4.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 5.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 5.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 7

Умножим $- 3$ на $5$ .

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 8

Интеграл $2^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ в $- 2$ и в $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Этап 12.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $6$ и в $0$ .

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.3

Перепишем $\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ в виде произведения.

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.6

Возведем $6$ в степень $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.8

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.8.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 12.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 12.3.10

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

Этап 12.3.11

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

Этап 12.3.12

Добавим $18$ и $0$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

Этап 12.3.13

Умножим $18$ на $- 1$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

Этап 12.3.14

Объединим $- 18$ и $\frac{1}{5}$ .

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

Этап 12.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Этап 13.2

Объединим $- 15$ и $\frac{1}{4 \ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

Этап 13.3

Умножим $- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $- 15$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Этап 13.3.2

Объединим $15$ и $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Этап 13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

Десятичная форма:

$12.63031921 \dots$

Этап 15