Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} (\frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t) d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{4} \frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} \frac{4}{5} t^{3} d t + \int_{0}^{4} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{4}{5}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{4}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{5} \int_{0}^{4} t^{3} d t + \int_{0}^{4} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Этап 5

Поскольку $- \frac{3}{4}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- \frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \int_{0}^{4} t^{2} d t + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Этап 7

Поскольку $\frac{2}{5}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{2}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{4} + \frac{2}{5} \int_{0}^{4} t d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{4} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{4}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{1}{4} t^{4}$ в $4$ и в $0$ .

$\frac{4}{5} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{4} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{4}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{1}{3} t^{3}$ в $4$ и в $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{4}$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{1}{2} t^{2}$ в $4$ и в $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $256$ .

$\frac{4}{5} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{5} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$\frac{4}{5} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4}{5} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.5

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{4}{5} (64 + 0 (\frac{1}{4})) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.6

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{5} (64 + 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.7

Добавим $64$ и $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot 64 - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $64$ .

$\frac{4 \cdot 64}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.9

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.10

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.13

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.14

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{64}{3} + 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.15

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} \cdot \frac{64}{3} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.16

Умножим $\frac{64}{3}$ на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{256}{5} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.17

Умножим $64$ на $3$ .

$\frac{256}{5} - \frac{192}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.18

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{256}{5} - \frac{192}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19

Сократим общий множитель $192$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.19.1

Вынесем множитель $12$ из $192$ .

$\frac{256}{5} - \frac{12 \cdot 16}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.19.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{256}{5} - \frac{12 \cdot 16}{12 (1)} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{256}{5} - \frac{12 \cdot 16}{12 \cdot 1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{256}{5} - \frac{16}{1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19.2.4

Разделим $16$ на $1$ .

$\frac{256}{5} - 1 \cdot 16 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.20

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{256}{5} - 16 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.21

Чтобы записать $- 16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{256}{5} - 16 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.22

Объединим $- 16$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{256}{5} + \frac{- 16 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{256 - 16 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.24.1

Умножим $- 16$ на $5$ .

$\frac{256 - 80}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.24.2

Вычтем $80$ из $256$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.25

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.26

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.27.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (8 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.28

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (8 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 9.4.29

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (8 + 0 (\frac{1}{2}))$

Этап 9.4.30

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (8 + 0)$

Этап 9.4.31

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} \cdot 8$

Этап 9.4.32

Объединим $\frac{2}{5}$ и $8$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2 \cdot 8}{5}$

Этап 9.4.33

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{176}{5} + \frac{16}{5}$

Этап 9.4.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{176 + 16}{5}$

Этап 9.4.35

Добавим $176$ и $16$ .

$\frac{192}{5}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{192}{5}$

Десятичная форма:

$38.4$

Форма смешанных чисел:

$38 \frac{2}{5}$

Этап 11