Математический анализ Примеры

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 1.3.5.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \sin (x)}{0 - \cos (x)}$

Этап 1.3.6

Вычтем $\cos (x)$ из $0$ .

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \sin (x)}{- \cos (x)}$

Этап 1.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Так как числитель положителен, а знаменатель $\cos (x)$ стремится к нулю и меньше нуля для $x$ около $\frac{π}{2}$ справа, функция неограниченно убывает.

$- \infty$