Математический анализ Примеры

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} & x < 2 \\ a x^{2} - b x + 3 & 2 \leq x < 3 \\ 4 x - a + b & x \geq 3 \end{cases}$

Этап 1

Найдем предел $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ , когда $x$ стремится к $2$ слева.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим двусторонний предел на левосторонний.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Этап 1.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Этап 1.2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Этап 1.2.1.2.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Этап 1.2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Этап 1.2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Этап 1.2.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Этап 1.2.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

Этап 1.2.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

Этап 1.2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.2.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.2.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.2.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.2.3.6

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.2.3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1 + 0}$

Этап 1.2.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1}$

Этап 1.2.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 2 x$

Этап 1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 2^{-}} x$

Этап 1.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2

Найдем значение $a x^{2} - b x + 3$ в точке $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$a {(2)}^{2} - b \cdot 2 + 3$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$a \cdot 4 - b \cdot 2 + 3$

Этап 2.2.2

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$4 \cdot a - b \cdot 2 + 3$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 a - 2 b + 3$

Этап 3

Поскольку предел $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ , когда $x$ стремится к $2$ слева, не равен значению функции в точке $x = 2$ , функция не является непрерывной в точке $x = 2$ .

Не является непрерывной

Этап 4