Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 1

Умножим на $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 2

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Этап 3

Разделим дроби.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Этап 4

Переведем $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ в $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Этап 5

Переведем $\frac{1}{\cos (t)}$ в $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (t) \sec (t) d t$

Этап 6

Поскольку производная $\sec (t)$ равна $\tan (t) \sec (t)$ , интеграл $\tan (t) \sec (t)$ равен $\sec (t)$ .

$\sec (t)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\sec (t)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$\sec (\frac{π}{4}) - \sec (0)$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (0)$

Этап 7.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} - 1$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 1$

Этап 7.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 1$

Этап 7.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 1$

Этап 7.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 1$

Этап 7.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 1$

Этап 7.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 1$

Этап 7.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1$

Этап 7.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1$

Этап 7.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1$

Этап 7.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1$

Этап 7.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} - 1$

Этап 7.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 7.3.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2} - 1$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{2} - 1$

Десятичная форма:

$0.41421356 \dots$