Математический анализ Примеры

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 6.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C$