Математический анализ Примеры

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (3 x - y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) (4 x^{3})$

Этап 2.5

Перенесем $4$ влево от $x + y$ .

$x^{4} (1 + y') + 4 \cdot (x + y) x^{3}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 (x + y) x^{3}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + (4 x + 4 y) x^{3}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Этап 2.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Этап 2.6.4.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x) + 4 y x^{3}$

Этап 2.6.4.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x^{1}) + 4 y x^{3}$

Этап 2.6.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3 + 1} + 4 y x^{3}$

Этап 2.6.4.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{4} + 4 y x^{3}$

Этап 2.6.4.3

Добавим $x^{4}$ и $4 x^{4}$ .

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Этап 2.6.5

Изменим порядок членов.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$y^{2} \frac{d}{d x} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $3 x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$y^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (3 - \frac{d}{d x} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $3 x - y$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 \cdot (3 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 (3 x - y) y y'$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x - y) y y'$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) + 2 (- y)) y y'$

Этап 3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) y + 2 (- y) y) y'$

Этап 3.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Этап 3.7.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Этап 3.7.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' + 2 (- y) y y'$

Этап 3.7.5.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y \cdot y y'$

Этап 3.7.5.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

Этап 3.7.5.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Этап 3.7.5.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

Этап 3.7.5.7

Добавим $1$ и $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{2} y'$

Этап 3.7.5.8

Вычтем $2 y^{2} y'$ из $y^{2} (- y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.8.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $- 1$ .

$3 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 6 x y y'$

Этап 3.7.5.8.2

Вычтем $2 y^{2} y'$ из $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y = 3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' = 5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Этап 5.2

Вычтем $x^{4} y'$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y$

Этап 5.3

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $6 x y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{4} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y)$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4})$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ на $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ на $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4})}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Этап 5.5.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Этап 5.5.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Этап 5.5.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}$

Этап 5.5.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x y$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}$

Этап 5.5.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}$

Этап 5.5.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}$

Этап 5.5.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Этап 5.5.3.2.8

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.8.1

Перепишем $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ в виде $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Этап 5.5.3.2.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$