Математический анализ Примеры

$x = \sec (\frac{1}{y})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (\frac{1}{y}))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Этап 3.1.2

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{y}$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = y$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $y$ на $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [y]$ из $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{y'}{y^{2}})$

Этап 3.5

Объединим $\sec (\frac{1}{y})$ и $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}})$

Этап 3.6

Объединим $\tan (\frac{1}{y})$ и $\frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Разделим $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = - 1$

Этап 5.3

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

Этап 5.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ на $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ на $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $\tan (\frac{1}{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $\sec (\frac{1}{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Этап 5.5.3.2

Разделим дроби.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\tan (\frac{1}{y})})$

Этап 5.5.3.3

Выразим $\tan (\frac{1}{y})$ через синусы и косинусы.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}})$

Этап 5.5.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})})$

Этап 5.5.3.5

Переведем $\frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})}$ в $\cot (\frac{1}{y})$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

Этап 5.5.3.6

Разделим дроби.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

Этап 5.5.3.7

Выразим $\sec (\frac{1}{y})$ через синусы и косинусы.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}} \cot (\frac{1}{y}))$

Этап 5.5.3.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} (1 \cos (\frac{1}{y})) \cot (\frac{1}{y}))$

Этап 5.5.3.9

Умножим $\cos (\frac{1}{y})$ на $1$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y}))$

Этап 5.5.3.10

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y' = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$