Математический анализ Примеры

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

Этап 1

Запишем $y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ в виде функции.

$f (x) = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{6}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $5$ .

$30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$30 x^{5} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ и $0$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$

Этап 3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 0.74790241$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 0.74790241) \cup (- 0.74790241, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число такое, что $- 3$ , из интервала $(- \infty, - 0.74790241)$ в первую производную $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 30 {(- 3)}^{5} - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$f' (- 3) = 30 \cdot - 243 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Этап 5.2.1.2

Умножим $30$ на $- 243$ .

$f' (- 3) = - 7290 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f' (- 3) = - 7290 - 12 \cdot - 27 + 2$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 12$ на $- 27$ .

$f' (- 3) = - 7290 + 324 + 2$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 7290$ и $324$ .

$f' (- 3) = - 6966 + 2$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 6966$ и $2$ .

$f' (- 3) = - 6964$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 6964$ .

$- 6964$

Этап 6

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- 0.74790241, \infty)$ в первую производную $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 30 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{3} + 2$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 30 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

Этап 6.2.1.2

Умножим $30$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

Этап 6.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 2$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 2$

Этап 6.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f' (0) = 2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 0.74790241$ , то в $x = - 0.74790241$ имеется экстремальная точка.

Этап 8

Найдем y-координату $- 0.74790241$ , чтобы найти экстремальную точку.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем $f (- 0.74790241)$ , чтобы найти y-координату $- 0.74790241$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.74790241$ .

$f (- 0.74790241) = 5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Этап 8.1.2

Упростим $5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Избавимся от скобок.

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Этап 8.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1

Возведем $- 0.74790241$ в степень $6$ .

$5 \cdot 0.17501272 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Этап 8.1.2.2.2

Умножим $5$ на $0.17501272$ .

$0.8750636 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Этап 8.1.2.2.3

Возведем $- 0.74790241$ в степень $4$ .

$0.8750636 - 3 \cdot 0.31288139 + 2 (- 0.74790241) - 9$

Этап 8.1.2.2.4

Умножим $- 3$ на $0.31288139$ .

$0.8750636 - 0.93864419 + 2 (- 0.74790241) - 9$

Этап 8.1.2.2.5

Умножим $2$ на $- 0.74790241$ .

$0.8750636 - 0.93864419 - 1.49580483 - 9$

Этап 8.1.2.3

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.3.1

Вычтем $0.93864419$ из $0.8750636$ .

$- 0.06358059 - 1.49580483 - 9$

Этап 8.1.2.3.2

Вычтем $1.49580483$ из $- 0.06358059$ .

$- 1.55938542 - 9$

Этап 8.1.2.3.3

Вычтем $9$ из $- 1.55938542$ .

$- 10.55938542$

Этап 8.2

Запишем координаты $x$ и $y$ как координаты точки.

$(- 0.74790241, - 10.55938542)$

Этап 9