Математический анализ Примеры

$y = \cot^{2} (\cos (θ))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \cot (\cos (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cot (\cos (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cot (\cos (θ))$ .

$2 \cot (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 2.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cot (\cos (θ)) (\csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 4

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$- 2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) (- \sin (θ))$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$ .

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Этап 6.2

Выразим $\csc (\cos (θ))$ через синусы и косинусы.

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (θ))})}^{2} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Этап 6.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Этап 6.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Этап 6.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

Этап 6.6

Выразим $\cot (\cos (θ))$ через синусы и косинусы.

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

Этап 6.7

Объединим.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

Этап 6.8

Умножим $\sin^{2} (\cos (θ))$ на $\sin (\cos (θ))$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $\sin^{2} (\cos (θ))$ на $\sin (\cos (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Возведем $\sin (\cos (θ))$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin^{1} (\cos (θ))} \sin (θ)$

Этап 6.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{{\sin (\cos (θ))}^{2 + 1}} \sin (θ)$

Этап 6.8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))} \sin (θ)$

Этап 6.9

Объединим $\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))}$ и $\sin (θ)$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin^{3} (\cos (θ))}$

Этап 6.10

Вынесем множитель $\sin (\cos (θ))$ из $\sin^{3} (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin^{2} (\cos (θ))}$

Этап 6.11

Разделим дроби.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$

Этап 6.12

Переведем $\frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$ в $\cot (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Этап 6.13

Вынесем множитель $\sin (\cos (θ))$ из $\sin^{2} (\cos (θ))$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Этап 6.14

Разделим дроби.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

Этап 6.15

Перепишем $\frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))}$ в виде произведения.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.16

Запишем $\sin (θ)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.17.1

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.17.2

Переведем $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ в $\csc (\cos (θ))$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.18

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.19

Переведем $\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ в $\csc (\cos (θ))$ .

$\frac{2}{1} \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.20

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.21

Умножим $2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.21.1

Возведем $\csc (\cos (θ))$ в степень $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.21.2

Возведем $\csc (\cos (θ))$ в степень $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc^{1} (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.21.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\csc (\cos (θ))}^{1 + 1} \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

Этап 6.21.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$