Математический анализ Примеры

$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 4$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} y'$

Этап 2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Этап 2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}} y'$

Этап 2.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}} y'$

Этап 2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} y'$

Этап 2.3.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} y'$

Этап 2.3.9

Объединим $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $y'$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}} y'}{3}$

Этап 2.3.10

Перенесем $y^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}}) = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.1.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 y' = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ в числитель.

$2 y' = \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 (y^{\frac{1}{3}}))$

Этап 5.3.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$2 y' = \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$2 y' = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3.2.1.2

Объединим $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ и $y^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ на $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ в числитель.

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.4.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.4.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$