Математический анализ Примеры

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (1 + \sin (y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Этап 3.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Этап 5.3

Вычтем $y' \cos (y)$ из обеих частей уравнения.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Этап 5.4

Добавим $y \sin (x y)$ к обеим частям уравнения.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 \cos (y)$ в виде $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Этап 5.7

Разделим каждый член $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ на $- x \sin (x y) - \cos (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ на $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Этап 5.7.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Этап 5.7.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Этап 5.7.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Этап 5.7.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.4.1

Перепишем $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ в виде $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Этап 5.7.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$