Математический анализ Примеры

$x^{y} = y^{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = x$ и $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Этап 2.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = y$ и $g = x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

Этап 3.4

Умножим $y^{x}$ на $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Изменим порядок членов.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

Этап 3.5.2

Изменим порядок множителей в $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ .

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ .

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Этап 5.5

Вычтем $x y' y^{x - 1}$ из обеих частей уравнения.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

Этап 5.6

Добавим $\ln (y) y^{x}$ к обеим частям уравнения.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' \ln (x) x^{y}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Этап 5.7.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' y^{x - 1}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Этап 5.7.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ .

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Этап 5.8

Разделим каждый член $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ на $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Разделим каждый член $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ на $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 5.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сократим общий множитель $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 5.8.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 5.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 5.8.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y x^{y - 1}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 5.8.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (y) y^{x}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 5.8.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 5.8.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.5.1

Перепишем $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ в виде $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 5.8.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$