Математический анализ Примеры

$y = x^{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 3.5.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 3.6.2

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 3.6.3

Изменим порядок членов.

$e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$