Математический анализ Примеры

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $x$ было равно $1$ .

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 + \sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 9$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Этап 2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Этап 2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Этап 2.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Этап 2.2.3.2.2

Добавим $10$ и $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $5$ на $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Этап 2.2.3.2.4

Добавим $20$ и $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Этап 2.2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Умножим $55$ на $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Этап 2.2.3.3.2

Разделим $1155$ на $3$ .

$385$

Этап 2.3

Найдем значение $2 \sum_{x = 1}^{10} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $10$ на $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 110$

Этап 2.3.3.3

Умножим $- 1$ на $110$ .

$- 110$

Этап 2.4

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{10} 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.4.2

Подставим значения в формулу.

$(9) (10)$

Этап 2.4.3

Умножим $9$ на $10$ .

$90$

Этап 2.5

Сложим результаты суммирования.

$385 - 110 + 90$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $110$ из $385$ .

$275 + 90$

Этап 2.6.2

Добавим $275$ и $90$ .

$365$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $x$ .

$0^{2} - 2 \cdot 0 + 9$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $0$ в степень $2$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 9$

Этап 3.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 + 0 + 9$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 9$

Этап 3.2.4

Добавим $0$ и $9$ .

$9$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$365 + 9$

Этап 5

Добавим $365$ и $9$ .

$374$