Математический анализ Примеры

$y = e^{- x} \sin (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} \sin (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 3.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 3.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 3.4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

Этап 3.4.3.4

Изменим порядок членов.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$