Математический анализ Примеры

$y = \cot^{2} (\sin (θ))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \cot (\sin (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cot (\sin (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cot (\sin (θ))$ .

$2 \cot (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Этап 2.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cot (\sin (θ)) (\csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Этап 4

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Этап 5.2

Выразим $\csc (\sin (θ))$ через синусы и косинусы.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (θ))})}^{2} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Этап 5.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Этап 5.4

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Этап 5.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Этап 5.7

Объединим $\cos (θ)$ и $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (θ) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Этап 5.8

Перенесем $2$ влево от $\cos (θ)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Этап 5.9

Выразим $\cot (\sin (θ))$ через синусы и косинусы.

$- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$

Этап 5.10

Умножим $- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Умножим $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ на $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Этап 5.10.2

Умножим $\sin (\sin (θ))$ на $\sin^{2} (\sin (θ))$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Умножим $\sin (\sin (θ))$ на $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1.1

Возведем $\sin (\sin (θ))$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{1} (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Этап 5.10.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{{\sin (\sin (θ))}^{1 + 2}}$

Этап 5.10.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Этап 5.11

Перенесем $2$ влево от $\cos (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Этап 5.12

Вынесем множитель $\sin (\sin (θ))$ из $\sin^{3} (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Этап 5.13

Разделим дроби.

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))})$

Этап 5.14

Переведем $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ в $\cot (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.15

Вынесем множитель $\sin (\sin (θ))$ из $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.16

Разделим дроби.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.17

Перепишем $\frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))}$ в виде произведения.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.18

Запишем $\cos (θ)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\frac{\cos (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.19.1

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.19.2

Переведем $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ в $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.20

Разделим дроби.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.21

Переведем $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ в $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.22

Разделим $2$ на $1$ .

$- (2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.23

Умножим $2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.23.1

Возведем $\csc (\sin (θ))$ в степень $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.23.2

Возведем $\csc (\sin (θ))$ в степень $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc^{1} (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.23.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (2 {\csc (\sin (θ))}^{1 + 1} \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.23.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Этап 5.24

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$