Математический анализ Примеры

$x e^{y} = x - y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Этап 2.5

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x e^{y} y' + e^{y} = 1 - y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = 1 - y'$

Этап 5.2

Добавим $y'$ к обеим частям уравнения.

$x y' e^{y} + e^{y} + y' = 1$

Этап 5.3

Вычтем $e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$x y' e^{y} + y' = 1 - e^{y}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $x y' e^{y} + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Этап 5.4.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (x e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{y}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ на $x e^{y} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ на $x e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $x e^{y} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$