Математический анализ Примеры

$y = 5 - x^{2}$ , $[- 3, 2]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$5 - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $5 - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 5$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 1.3

Подставим $\sqrt{5}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $5$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 d x - \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - x^{2} + 5 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $- \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 - (- x^{2} + 5) d x$

Этап 4.2

Вычтем $- x^{2} + 5$ из $0$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - (- x^{2} + 5) d x$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 1 \cdot 5 d x$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 5 d x$

Этап 4.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Этап 4.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ и $- 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Этап 4.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ в $- \sqrt{5}$ и в $- 3$ .

$(\frac{1}{3} {(- \sqrt{5})}^{3} - 5 (- \sqrt{5})) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} {(- (\sqrt{5}))}^{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.2

Применим правило умножения к $- (\sqrt{5})$ .

$\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} (- {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{3}$ в виде $\sqrt{5^{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{5^{3}}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.5

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{125}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{125}$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.7

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.8

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 27}{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.10

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 9}{1} - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.10.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 - 5 \cdot - 3)$

Этап 4.8.2.2.11

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 + 15)$

Этап 4.8.2.2.12

Добавим $- 9$ и $15$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 6$

Этап 4.8.2.2.13

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Перепишем $125$ в виде $5^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$- \frac{\sqrt{25 (5)}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Этап 4.8.3.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Этап 4.8.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Этап 4.8.3.3

Чтобы записать $5 \sqrt{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Этап 4.8.3.4

Объединим $5 \sqrt{5}$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Этап 4.8.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Этап 4.8.3.6

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3} - 6$

Этап 4.8.3.7

Добавим $- 5 \sqrt{5}$ и $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6$

Этап 5

$A r e a = \int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- \sqrt{5}}^{2} 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- \sqrt{5}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 - (0) d x$

Этап 6.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 5$ .

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x$

Этап 6.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Этап 6.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- \sqrt{5}}^{2} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Этап 6.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Этап 6.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Этап 6.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Этап 6.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- \sqrt{5}$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Этап 6.8.1.2

Найдем значение $5 x$ в $2$ и в $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- (\sqrt{5}))}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.3

Применим правило умножения к $- (\sqrt{5})$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.5

Перепишем ${\sqrt{5}}^{3}$ в виде $\sqrt{5^{3}}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{5^{3}}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.6

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.9

Умножим $\frac{\sqrt{125}}{3}$ на $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.10

Умножим $5$ на $2$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 - 5 (- \sqrt{5})$

Этап 6.8.1.3.11

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Перепишем $125$ в виде $5^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{25 (5)}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.2.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$- (\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 10 + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.3.2

Чтобы записать $10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.3.3

Объединим $10$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.5.1

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{- 8 + 30}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.3.5.2

Добавим $- 8$ и $30$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Этап 6.8.3.6

Чтобы записать $5 \sqrt{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.8.3.7

Объединим $5 \sqrt{5}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Этап 6.8.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{22}{3} + \frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Этап 6.8.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Этап 6.8.3.10

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3}$

Этап 6.8.3.11

Добавим $- 5 \sqrt{5}$ и $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Этап 7

Сложим площади $\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6 + \frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 6 + \frac{10 \sqrt{5} + 22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Этап 7.2

Добавим $10 \sqrt{5}$ и $10 \sqrt{5}$ .

$- 6 + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Этап 7.3

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Этап 7.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим $- 6$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Этап 7.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 6 \cdot 3 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{- 18 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Этап 7.5.2

Добавим $- 18$ и $22$ .

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Десятичная форма:

$16.24045318 \dots$

Этап 9