Математический анализ Примеры

$y = 144 - x^{2}$ ; $[- 12, 12]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$144 - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $144 - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 144$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 144$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 144$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 144}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 144}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 144$ на $- 1$ .

$x^{2} = 144$

Этап 1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{144}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{144}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 12$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 12$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 12$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 12, - 12$

Этап 1.3

Подставим $12$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(12, 0)$

$(- 12, 0)$

$(12, 0)$

$(- 12, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $144$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 144$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 d x - \int_{- 12}^{12} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 12$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 144$ .

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} d x + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 12}^{12} x^{2} d x + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 12}^{12}) + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 12}^{12}) + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 12}^{12}) + 144 x]_{- 12}^{12}$

Этап 4.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $12$ и в $- 12$ .

$- ((\frac{12^{3}}{3}) - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 x]_{- 12}^{12}$

Этап 4.8.2

Найдем значение $144 x$ в $12$ и в $- 12$ .

$- (\frac{12^{3}}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Возведем $12$ в степень $3$ .

$- (\frac{1728}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.2

Сократим общий множитель $1728$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $1728$ .

$- (\frac{3 \cdot 576}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 576}{3 (1)} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 576}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{576}{1} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.2.2.4

Разделим $576$ на $1$ .

$- (576 - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.3

Возведем $- 12$ в степень $3$ .

$- (576 - \frac{- 1728}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.4

Сократим общий множитель $- 1728$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 1728$ .

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3 (1)}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3 \cdot 1}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (576 - \frac{- 576}{1}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.4.2.4

Разделим $- 576$ на $1$ .

$- (576 - - 576) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.5

Умножим $- 1$ на $- 576$ .

$- (576 + 576) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.6

Добавим $576$ и $576$ .

$- 1 \cdot 1152 + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.7

Умножим $- 1$ на $1152$ .

$- 1152 + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.8

Умножим $144$ на $12$ .

$- 1152 + 1728 - 144 \cdot - 12$

Этап 4.8.3.9

Умножим $- 144$ на $- 12$ .

$- 1152 + 1728 + 1728$

Этап 4.8.3.10

Добавим $1728$ и $1728$ .

$- 1152 + 3456$

Этап 4.8.3.11

Добавим $- 1152$ и $3456$ .

$2304$

Этап 5