Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

Этап 1.2

Решим $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

Этап 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

Этап 1.2.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

$1$ перечисляет простые множители каждого числа.

Этап 1.2.1.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

Этап 1.2.1.5

Простыми множителями $8$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 4$

Этап 1.2.1.5.2

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Этап 1.2.1.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Not $p r i m e + y = 0$

Этап 1.2.1.7

НОК $4, 8, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Этап 1.2.1.8

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

Этап 1.2.1.8.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 + y = 0$

Этап 1.2.1.9

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

Этап 1.2.1.10

НОК $x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x + y = 0$

Этап 1.2.1.11

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + y = 0$

Этап 1.2.1.12

НОК $4, 8 x^{2}, 1$ представляет собой произведение числовой части $8$ и переменной части.

$8 x^{2} + y = 0$

Этап 1.2.2

Каждый член в $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ умножим на $8 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим каждый член $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ на $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.3

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.3.3

Добавим $2$ и $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим $0 (8 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{6} = - 1$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $2 x^{6} = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $2 x^{6} = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{6}$ на $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.4

Упростим $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

Этап 1.2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

Этап 1.2.3.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.4.4

Перепишем $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

Этап 1.2.3.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

Этап 1.2.3.4.6

Объединим $i$ и $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Этап 1.2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Этап 1.2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Этап 1.2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Этап 1.3

Подставим $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Этап 3.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Этап 3.6

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3.7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3.7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 3.7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Этап 3.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Найдем значение $\frac{1}{5} x^{5}$ в $4$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Этап 3.9.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $4$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.6

Вычтем $1$ из $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.8

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Этап 3.9.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

Этап 3.9.3.11

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Этап 3.9.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

Этап 3.9.3.13

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

Этап 3.9.3.14

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

Этап 3.9.3.15

Умножим $8$ на $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

Этап 3.9.3.16

Чтобы записать $\frac{1023}{20}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

Этап 3.9.3.17

Чтобы записать $\frac{3}{32}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.9.3.18

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $160$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.18.1

Умножим $\frac{1023}{20}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.9.3.18.2

Умножим $20$ на $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.9.3.18.3

Умножим $\frac{3}{32}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

Этап 3.9.3.18.4

Умножим $32$ на $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

Этап 3.9.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

Этап 3.9.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.20.1

Умножим $1023$ на $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

Этап 3.9.3.20.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

Этап 3.9.3.20.3

Добавим $8184$ и $15$ .

$\frac{8199}{160}$

Этап 4