Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 1.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 1.3

Подставим $\sqrt{3}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

Этап 3.2

Вычтем $x^{2} - 3$ из $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Этап 3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $\sqrt{3}$ и в $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Этап 3.9.1.2

Найдем значение $3 x$ в $\sqrt{3}$ и в $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.6

Добавим $\frac{\sqrt{27}}{3}$ и $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Этап 3.9.1.3.7

Умножим $- 3$ на $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

Этап 3.9.1.3.8

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Этап 3.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Этап 3.9.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Этап 3.9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Этап 3.9.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Этап 3.9.2.3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Этап 3.9.2.4

Добавим $- \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Этап 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $\sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

Этап 5.2

Вычтем $0$ из $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Этап 5.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Этап 5.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ и $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Этап 5.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ в $6$ и в $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.3

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.3.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.4

Умножим $- 3$ на $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.5

Вычтем $18$ из $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.2.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.3.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.3.1

Сократим общий множитель.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.3.3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

Этап 5.6.3.4

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

Этап 5.6.3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

Этап 6

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$54 + 4 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$60.92820323 \dots$

Этап 8