Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 1.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Изменим порядок множителей в $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 1.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 1.5.3.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Этап 1.5.3.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Этап 1.5.3.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 3 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Этап 1.5.3.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} e^{x} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Этап 1.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 1.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 1.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Этап 2.4.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Этап 2.5

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Этап 2.6.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 2.6.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 2.6.2.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

Этап 2.6.2.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

Этап 2.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 2.7.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Этап 2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x \cdot x e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Этап 2.8.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Этап 2.8.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Этап 2.8.4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.4.2

Вычтем $3 x e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.4.3

Вычтем $4 e^{x} x$ из $- 2 x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.3.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} - 4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.4.3.2

Вычтем $4 x e^{x}$ из $- 2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.5

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{- 6 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.7

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.9

Вынесем множитель $- 1$ из $12 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})}{x^{5}}$

Этап 2.8.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

Этап 2.8.11

Перепишем $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ в виде $- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

Этап 2.8.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 2.8.13

Изменим порядок множителей в $- \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x e^{x} - x^{2} e^{x} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.1.3

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Изменим порядок множителей в $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.3.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.3.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.3.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.3.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 3 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.3.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} e^{x} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Этап 4.1.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 4.1.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 4.1.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$e^{x} (x - 3) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 5.3.2.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 5.3.2.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.3.2.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5.3.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x - 3) = 0$ верно.

$x = 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{4} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{6 (3) e^{3} - {(3)}^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{{(3)}^{5}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $6$ на $3$ .

$- \frac{18 e^{3} - 3^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Этап 9.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{18 e^{3} - 1 \cdot 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- \frac{18 e^{3} - 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Этап 9.1.4

Вычтем $9 e^{3}$ из $18 e^{3}$ .

$- \frac{9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Этап 9.1.5

Вычтем $12 e^{3}$ из $9 e^{3}$ .

$- \frac{- 3 e^{3}}{3^{5}}$

Этап 9.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$- \frac{- 3 e^{3}}{243}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $243$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 e^{3}$ .

$- \frac{3 (- e^{3})}{243}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $243$ .

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 (81)}$

Этап 9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 \cdot 81}$

Этап 9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- e^{3}}{81}$

Этап 9.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{e^{3}}{81}$

Этап 9.3

Умножим $- - \frac{e^{3}}{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{e^{3}}{81}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{e^{3}}{81}$ на $1$ .

$\frac{e^{3}}{81}$

Этап 10

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{{(3)}^{3}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{27}$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $\frac{e^{3}}{27}$ .

$y = \frac{e^{3}}{27}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$ .

$(3, \frac{e^{3}}{27})$ — локальный минимум

Этап 13