Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.3

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.9

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.14.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.20.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.20.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.23

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.24

Чтобы записать ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.27

Упростим ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.28

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.29

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - 2 x^{2} + 1$ и $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.3

Упростим.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.4.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.4.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.4.6

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.5.2

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{{(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.10.3

Перенесем ${(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.11

По правилу суммы производная $- x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.15

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.16.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.16.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.16.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.17.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.17.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{- x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 1) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.20

Умножим $- 2 x^{2} + 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 1) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 1) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.2

Умножим $- 2 x^{2} + 1$ на $\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.3

Чтобы записать $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.4

Объединим $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ и $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6

Перепишем $\frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.6.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $(- 2 x^{2} + 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.2

Умножим ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.6.2.1

Перенесем ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2} + 1) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.3

Упростим $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2} + 1) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 4 \cdot 1 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 4 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.1.6.8

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.1

Перепишем $\frac{\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 1}$

Этап 2.21.2.2

Умножим $\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{- x^{2} + 1}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 1)}$

Этап 2.21.2.3

Умножим ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{2} + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.3.1

Умножим ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.3.1.1

Возведем $- x^{2} + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 1)}$

Этап 2.21.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.21.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.21.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.21.2.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.3.2

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.8.3

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.9

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.14.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.20.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.20.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 4.1.23

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.24

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.26

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.27

Упростим ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.28

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.29

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} = - 1$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.3.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.3.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.3.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{\sqrt{{(- x^{2} + 1)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{- 2 x^{2} + 1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{- x^{2} + 1} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- x^{2} + 1}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x^{2} + 1}$ в виде ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- x^{2} + 1)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим.

$- x^{2} + 1 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- x^{2} + 1 = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Этап 6.3.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 6.3.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 6.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 6.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 6.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x^{2} + 1}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- x^{2} + 1 < 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} < - 1$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} < - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} < - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Этап 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Этап 6.5.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{1}$

Этап 6.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | > 1$

Этап 6.5.5

Запишем $| x | > 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 6.5.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > 1$

Этап 6.5.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 6.5.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > 1$

Этап 6.5.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 6.5.6

Найдем пересечение $x > 1$ и $x \geq 0$ .

$x > 1$

Этап 6.5.7

Разделим каждый член $- x > 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.1

Разделим каждый член $- x > 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Этап 6.5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Этап 6.5.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Этап 6.5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x < - 1$

Этап 6.5.8

Найдем объединение решений.

$x < - 1$ или $x > 1$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2}) (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 (\frac{2}{4}) - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2 (2)} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2 \cdot 2} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{2}{2} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (1 - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.6

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2 (1)}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(\frac{- 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot - 2}{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Сократим выражение $\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- \sqrt{2}}{1}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4.2

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 9.6

Умножим $- \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 9.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2^{\frac{3 + 1}{2}}$

Этап 9.6.4

Добавим $3$ и $1$ .

$- 2^{\frac{4}{2}}$

Этап 9.6.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 9.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 9.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 9.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2^{\frac{2}{1}}$

Этап 9.6.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 2^{2}$

Этап 9.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 1 \cdot 4$

Этап 9.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4$

Этап 10

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 11.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{4}}$

Этап 11.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 11.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 11.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 11.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 11.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 11.2.5.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 11.2.6

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.8

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.9

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{(- \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}) - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.3

Умножим $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 (\frac{2}{4}) - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2 (2)} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2 \cdot 2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{2}{2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.7

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.8

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.9

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.9.2

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.10.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2 (1)}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2}}{{(\frac{- 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 13.4

Умножим $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 13.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

Этап 13.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{1 + 3}{2}}$

Этап 13.4.4

Добавим $1$ и $3$ .

$2^{\frac{4}{2}}$

Этап 13.4.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 13.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 13.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 13.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{2}{1}}$

Этап 13.4.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2^{2}$

Этап 13.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4$

Этап 14

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sqrt{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Этап 15.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Этап 15.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Этап 15.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 15.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{4}}$

Этап 15.2.6

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 15.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 15.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 15.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 15.2.7.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 15.2.8

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.9

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.10

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.10.2

Вынесем множитель $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.10.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.10.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Этап 15.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{1}{2}$

Этап 15.2.12

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 17.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 17.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{3}}$

Этап 17.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0}$

Этап 17.2.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0}$

Этап 17.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 18

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 19