Математический анализ Примеры

$y = 4 - 4 x^{2}$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 - 4 x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $4 - 4 x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} = - 4$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 4$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 4$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.3

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $4$ и $- 4 x^{2}$ .

$y = - 4 x^{2} + 4$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- 4 x^{2} + 4$ .

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Этап 4.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$- 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Этап 4.8.2

Найдем значение $4 x$ в $1$ и в $- 1$ .

$- 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 4 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- 4 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 \frac{1 + 1}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 4 (\frac{2}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.8

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.9

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{- 8}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.11

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{8}{3} + 4 - 4 \cdot - 1$

Этап 4.8.3.12

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- \frac{8}{3} + 4 + 4$

Этап 4.8.3.13

Добавим $4$ и $4$ .

$- \frac{8}{3} + 8$

Этап 4.8.3.14

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.8.3.15

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Этап 4.8.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{3}$

Этап 4.8.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.17.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{- 8 + 24}{3}$

Этап 4.8.3.17.2

Добавим $- 8$ и $24$ .

$\frac{16}{3}$

Этап 5