Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Этап 1.2

Решим $\sqrt{1 - x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Упростим.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.3

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Этап 2

Упростим $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.3

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - x) + x (1 - x)$

Этап 4.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Этап 4.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 4.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 4.3.1.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 4.3.1.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$1 - x + x + x (- x)$

Этап 4.3.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - x + x - x \cdot x$

Этап 4.3.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x)$

Этап 4.3.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - x + x - x^{2}$

Этап 4.3.1.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - x^{2}$

Этап 4.3.1.3

Изменим порядок $1$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Этап 4.3.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Этап 4.3.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Этап 4.3.4.2.2

Перепишем $- 1 \cdot 0$ в виде $- 0$ .

$d = - 0$

Этап 4.3.4.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0$

Этап 4.3.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.3.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Этап 4.3.5.2.1.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Этап 4.3.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 1 + 0$

Этап 4.3.5.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e = 1$

Этап 4.3.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1} d x$

Этап 4.4

Пусть $u_{1} = x + 0$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Пусть $u_{1} = x + 0$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Дифференцируем $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Этап 4.4.1.2

По правилу суммы производная $x + 0$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Этап 4.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Этап 4.4.1.4

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 1 + 0$

Этап 4.4.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 4.4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 4.4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Этап 4.4.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Этап 4.5

Пусть $u_{1} = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Этап 4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Изменим порядок $- \sin^{2} (t)$ и $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 4.6.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 4.6.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Этап 4.6.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Этап 4.6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 4.6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Этап 4.7

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 4.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 4.9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 4.10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 4.11

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Тогда $d u_{2} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 4.11.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.11.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.11.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Этап 4.11.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 4.11.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 4.11.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = - π$

Этап 4.11.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 4.11.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 4.11.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 4.11.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Этап 4.11.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 4.12

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 4.13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 4.14

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Этап 4.15

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Найдем значение $t$ в $\frac{π}{2}$ и в $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Этап 4.15.2

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $π$ и в $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Этап 4.15.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Этап 4.15.3.2

Добавим $π$ и $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Этап 4.15.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Этап 4.15.3.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Этап 4.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Этап 4.16.1.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Этап 4.16.1.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Этап 4.16.1.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Этап 4.16.1.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Этап 4.16.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 4.16.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Этап 4.16.2

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Этап 4.16.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 5