Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Этап 1.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $20$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Этап 1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Этап 1.3.4

Найдем предел $19$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Этап 1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Этап 1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Этап 1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Умножим $20$ на $1$ .

$\frac{0}{20 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Этап 1.3.6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{20 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 19}$

Этап 1.3.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 1 \cdot 19}$

Этап 1.3.6.1.4

Умножим $- 1$ на $19$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 19}$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $1$ из $20$ .

$\frac{0}{19 - 19}$

Этап 1.3.6.3

Вычтем $19$ из $19$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Этап 3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $20 x - x^{2} - 19$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Этап 3.4.3

Умножим $20$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Этап 3.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Этап 3.6

Поскольку $- 19$ является константой относительно $x$ , производная $- 19$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + 0}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $20 - 2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x}$

Этап 3.7.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 x + 20}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 x + 20}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{- 2 x + 20}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (- 2 x + 20)}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} - 2 x + 20}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 20)}$

Этап 10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 20)}$

Этап 11

Найдем предел $20$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Этап 13.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 2 \cdot 1 + 20}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{- 2 + 20}$

Этап 13.2.2

Добавим $- 2$ и $20$ .

$\frac{1}{18}$