Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{4^{1} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Найдем экспоненту.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $4^{x} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.5

Добавим $4^{x} \ln (4)$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + 0}$

Этап 3.9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{\ln (4)}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} lim_{x \to 1} \frac{4^{x}}{x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 4^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{1}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим.

$\frac{\ln (4) \cdot 4^{1}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2

Найдем экспоненту.

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $\ln (4) \cdot 4$ .

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2}$

Этап 8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 (1)}$

Этап 8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Этап 8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (4) \cdot 2}{1}$

Этап 8.4.2.4

Разделим $\ln (4) \cdot 2$ на $1$ .

$\ln (4) \cdot 2$

Этап 8.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (4)$ .

$2 \ln (4)$