Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 10 x + 15$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 5 x^{2} - 10 x + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$3 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $3 x^{2} + 10 x - 10$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x - 10$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 10 x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 2.3.3

Умножим $10$ на $1$ .

$6 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 10 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 10$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 10$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x + 10$ .

$6 x + 10$