Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{4}{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}$

Этап 1.5.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}$

Этап 1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.7.2

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 1$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{6}{5}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Этап 2.10

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

Этап 2.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $5$ на $5$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

Этап 2.11.2

Перенесем $x^{- \frac{6}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$