Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2} e^{2 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.2

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.2.8

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{2 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$

Этап 2.3.2

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1)$

Этап 2.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1)$

Этап 2.3.8

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1)$

Этап 2.3.9

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x})$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 (e^{2 x} (x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

Этап 2.4.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x + 4 (x (e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

Этап 2.4.3.4

Добавим $4 e^{2 x} x$ и $4 x e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Перенесем $e^{2 x}$ .

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 x e^{2 x} + 4 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

Этап 2.4.3.4.2

Добавим $4 x e^{2 x}$ и $4 x e^{2 x}$ .

$4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$4 e^{2 x} x^{2} + 8 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $4 e^{2 x} x^{2} + 8 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} e^{2 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.2

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.3.2

$4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.2.8

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x e^{2 x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.2

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.3.2

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.8

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.3.9

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{2 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 3.4.5

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 3.4.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 3.4.7

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 e^{2 x}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 e^{2 x}$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 3.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 (x^{2} (e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 3.5.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 (e^{2 x} (x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 3.5.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 e^{2 x} x + 16 (x (e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 3.5.3.4

Добавим $8 e^{2 x} x$ и $16 x e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.4.1

Перенесем $e^{2 x}$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 16 x e^{2 x} + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 3.5.3.4.2

Добавим $8 x e^{2 x}$ и $16 x e^{2 x}$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 3.5.3.5

Добавим $8 e^{2 x}$ и $4 e^{2 x}$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$

Этап 3.5.4

Изменим порядок членов.

$8 e^{2 x} x^{2} + 24 e^{2 x} x + 12 e^{2 x}$

Этап 3.5.5

Изменим порядок множителей в $8 e^{2 x} x^{2} + 24 e^{2 x} x + 12 e^{2 x}$ .

$f''' (x) = 8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$

Этап 4

Третья производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$ .

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$