Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{7}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{7}}$ в виде ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{7})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.2.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}}$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{7}{x^{8}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{7}{x^{8}}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{8}}$ в виде ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{8})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{8 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 8$ .

$- 7 (- 8 x^{- 9})$

Этап 2.4

Умножим $- 8$ на $- 7$ .

$56 x^{- 9}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$56 \frac{1}{x^{9}}$

Этап 2.5.2

Объединим $56$ и $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = \frac{56}{x^{9}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $56$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{56}{x^{9}}$ по $x$ равна $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{9}}$ в виде ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{9})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$56 \frac{d}{d x} [x^{9 \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$56 \frac{d}{d x} [x^{- 9}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 9$ .

$56 (- 9 x^{- 10})$

Этап 3.4

Умножим $- 9$ на $56$ .

$- 504 x^{- 10}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 504 \frac{1}{x^{10}}$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Объединим $- 504$ и $\frac{1}{x^{10}}$ .

$\frac{- 504}{x^{10}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{504}{x^{10}}$

Этап 4

Третья производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{504}{x^{10}}$ .

$- \frac{504}{x^{10}}$