Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 4}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 4$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 4] - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 5 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.7

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{x (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (6 x + 5 + 0) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.9

Добавим $6 x + 5$ и $0$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x \cdot x + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 \cdot x - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x - - 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Объединим противоположные члены в $6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 0 + 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.2.2

Добавим $6 x^{2} - 3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.3

Вычтем $3 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.7

Добавим $6 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Перенесем $6$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{6 \cdot x^{3} - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{6 x^{3} - (3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{3} + (- 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 4) x}{x^{4}}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2}) x - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 8 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.2

Вычтем $6 x^{3}$ из $6 x^{3}$ .

$\frac{0 - 8 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.3

Вычтем $8 x$ из $0$ .

$\frac{- 8 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot - 8}{x^{4}}$

Этап 2.7.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.7.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.7.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 8}{x^{3}}$

Этап 2.7.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{8}{x^{3}}$ .

$- \frac{8}{x^{3}}$