Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{5 + 2 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 5 + 2 x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (5 + 2 x)}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(5 + 2 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (5 + 2 x)}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $5 + 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((5 + 2 x) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (5 + 2 x)}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $5 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (2 x))}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (2 x))}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} (2 x)}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - x^{2} (2 \frac{d}{d x} (x))}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - 2 x^{2} \frac{d}{d x} x}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - 2 x^{2} \cdot 1}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 5 + 2 (2 x)) x - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (5 x) + 2 (2 x) x - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{10 x + 2 (2 x) x - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{10 x + 2 (2 (x \cdot x)) - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{10 x + 2 (2 x^{2}) - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x + 4 x^{2} - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{10 x + 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 10 x}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (x) + 10 x}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (x) + 2 x (5)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x) + 2 x (5)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{2}})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 5)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{({(2 x + 5)}^{2})}^{2}})$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 5)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 5)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 5$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x + 5) + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)) + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (5)) + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.5.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.5.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x + (x + 5) \cdot 1) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.5.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Умножим $x + 5$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x + x + 5) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.5.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (2 x + 5) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.6

Умножим ${(2 x + 5)}^{2}$ на $2 x + 5$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим ${(2 x + 5)}^{2}$ на $2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $2 x + 5$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (2 x + 5) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2 + 1} - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 5$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - x (x + 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - x (x + 5) (2 u \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 5$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - x (x + 5) (2 (2 x + 5) \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - 2 x (x + 5) ((2 x + 5) \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.8.2

Вынесем множитель $2 x + 5$ из ${(2 x + 5)}^{3} - 2 x (x + 5) ((2 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x + 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вынесем множитель $2 x + 5$ из ${(2 x + 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) ((2 x + 5) \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.8.2.2

Вынесем множитель $2 x + 5$ из $- 2 x (x + 5) ((2 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x + 5])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{2} + (2 x + 5) (- 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5)))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.8.2.3

Вынесем множитель $2 x + 5$ из $(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{2} + (2 x + 5) (- 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x + 5]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) ({(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5)))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

Этап 2.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $2 x + 5$ из ${(2 x + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) ({(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5)))}{(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.9.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) ({(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5)))}{(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.9.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (2 + \frac{d}{d x} (5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.14

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (2 + 0)}{{(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.15.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 4 x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{3}})$

Этап 2.15.3

Объединим $2$ и $\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 4 x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x + 5)}^{2} - 4 x (x + 5))}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x + 5)}^{2} - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 {(2 x + 5)}^{2} + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1.1

Перепишем ${(2 x + 5)}^{2}$ в виде $(2 x + 5) (2 x + 5)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x + 5) (2 x + 5)) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.2

Развернем $(2 x + 5) (2 x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5)) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x + 5)) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.3.1.4

Умножим $5$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 10 x + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.3.1.6

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 10 x + 10 x + 25) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.3.2

Добавим $10 x$ и $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 20 x + 25) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 \cdot 25 + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 2 (20 x) + 2 \cdot 25 + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.5.2

Умножим $20$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 2 \cdot 25 + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.5.3

Умножим $2$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1.6.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 + 2 (- 4 (x \cdot x)) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.7

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 - 8 x^{2} + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.8

Умножим $5$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 - 8 x^{2} + 2 (- 20 x)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.1.9

Умножим $- 20$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 - 8 x^{2} - 40 x}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.2

Объединим противоположные члены в $8 x^{2} + 40 x + 50 - 8 x^{2} - 40 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.2.1

Вычтем $8 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{40 x + 50 + 0 - 40 x}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.2.2

Добавим $40 x + 50$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{40 x + 50 - 40 x}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.2.3

Вычтем $40 x$ из $40 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 2.16.3.2.4

Добавим $0$ и $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{50}{{(2 x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{50}{{(2 x + 5)}^{3}}$