Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Этап 2.1.3.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.1.3.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.1.3.1.2
Умножим на .
Этап 2.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.3.3
Умножим на .
Этап 2.1.4
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.4.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.1.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.4.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.1.5
Упростим с помощью разложения.
Этап 2.1.5.1
Умножим на .
Этап 2.1.5.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.5.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.5.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.6
Сократим общие множители.
Этап 2.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.6.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.6.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.7
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.9
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.10
Упростим выражение.
Этап 2.1.10.1
Добавим и .
Этап 2.1.10.2
Умножим на .
Этап 2.1.11
Возведем в степень .
Этап 2.1.12
Возведем в степень .
Этап 2.1.13
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.14
Добавим и .
Этап 2.1.15
Вычтем из .
Этап 2.1.16
Объединим и .
Этап 2.1.17
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.18
Упростим.
Этап 2.1.18.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.18.2
Упростим каждый член.
Этап 2.1.18.2.1
Умножим на .
Этап 2.1.18.2.2
Умножим на .
Этап 2.1.18.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.18.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.18.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.18.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.18.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.18.5
Перепишем в виде .
Этап 2.1.18.6
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.18.7
Перепишем в виде .
Этап 2.1.18.8
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.18.9
Умножим на .
Этап 2.1.18.10
Умножим на .
Этап 2.2
Первая производная по равна .
Этап 3
Этап 3.1
Пусть первая производная равна .
Этап 3.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 3.3
Решим уравнение относительно .
Этап 3.3.1
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 3.3.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 3.3.1.2
Упростим левую часть.
Этап 3.3.1.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 3.3.1.3
Упростим правую часть.
Этап 3.3.1.3.1
Разделим на .
Этап 3.3.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 3.3.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 3.3.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 3.3.3.2
Упростим левую часть.
Этап 3.3.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 3.3.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 3.3.5
Упростим .
Этап 3.3.5.1
Перепишем в виде .
Этап 3.3.5.2
Любой корень из равен .
Этап 3.3.5.3
Умножим на .
Этап 3.3.5.4
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 3.3.5.4.1
Умножим на .
Этап 3.3.5.4.2
Возведем в степень .
Этап 3.3.5.4.3
Возведем в степень .
Этап 3.3.5.4.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.5.4.5
Добавим и .
Этап 3.3.5.4.6
Перепишем в виде .
Этап 3.3.5.4.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.3.5.4.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.5.4.6.3
Объединим и .
Этап 3.3.5.4.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.5.4.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.5.4.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.5.4.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.3.6
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 3.3.6.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 3.3.6.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 3.3.6.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 4
Значения, при которых производная равна : .
Этап 5
Разобьем на отдельные интервалы вокруг значений , при которых производная равна или не определена.
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим числитель.
Этап 6.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.3
Вычтем из .
Этап 6.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 6.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.2.2
Добавим и .
Этап 6.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 6.2.3
Упростим выражение.
Этап 6.2.3.1
Умножим на .
Этап 6.2.3.2
Разделим на .
Этап 6.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим числитель.
Этап 7.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 7.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.2.1.3
Вычтем из .
Этап 7.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 7.2.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 7.2.2.2
Добавим и .
Этап 7.2.2.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7.2.3
Упростим выражение.
Этап 7.2.3.1
Умножим на .
Этап 7.2.3.2
Разделим на .
Этап 7.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 8
Этап 8.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 8.2
Упростим результат.
Этап 8.2.1
Упростим числитель.
Этап 8.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 8.2.1.2
Умножим на .
Этап 8.2.1.3
Вычтем из .
Этап 8.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 8.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 8.2.2.2
Добавим и .
Этап 8.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 8.2.3
Упростим выражение.
Этап 8.2.3.1
Умножим на .
Этап 8.2.3.2
Разделим на .
Этап 8.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 8.3
При производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 9
Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.
Возрастание в области:
Убывание на:
Этап 10