Математический анализ Примеры

$(2 - 2 x) e^{x}$

Этап 1

Запишем $(2 - 2 x) e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 - 2 x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

По правилу суммы производная $2 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

Этап 2.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

Этап 2.1.3.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{x}$ .

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вычтем $2 e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} + 0$

Этап 2.1.4.2.2

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $0$ .

$- 2 x e^{x}$

Этап 2.1.4.3

Изменим порядок множителей в $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 e^{x} x$

Этап 2.1.4.4

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 x e^{x}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x e^{x} = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 x e^{x} = 0$ верно.

$x = 0$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 2 x e^{x}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

Этап 6.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Этап 6.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $\frac{2}{e}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (1) = - 2 e$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $- 2 e$ .

$- 2 e$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 2 e$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0)$

Убывание на: $(0, \infty)$

Этап 9