Математический анализ Примеры

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Этап 1

Запишем $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ в виде функции.

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 9$ и $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ .

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 18 x - 162$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Этап 2.1.2.5

Умножим $- 18$ на $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Этап 2.1.2.6

Поскольку $- 162$ является константой относительно $x$ , производная $- 162$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Этап 2.1.2.7

Добавим $2 x - 18$ и $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Этап 2.1.2.8

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Этап 2.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

Этап 2.1.2.10

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

Этап 2.1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

Этап 2.1.2.11.2

Умножим $x^{2} - 18 x - 162$ на $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.5

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.6

Перенесем $- 18$ влево от $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.7

Умножим $- 9$ на $- 18$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.8

Вычтем $18 x$ из $- 18 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

Этап 2.1.3.4.10

Вычтем $18 x$ из $- 36 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

Этап 2.1.3.4.11

Вычтем $162$ из $162$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

Этап 2.1.3.4.12

Добавим $3 x^{2} - 54 x$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 54 x$ .

$3 x^{2} - 54 x$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 54 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 54 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} - 54 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 54 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 54 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (- 18)$ .

$3 x (x - 18) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 18$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 18$ к $0$ .

$x - 18 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$x = 18$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x - 18) = 0$ верно.

$x = 0, 18$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 18$ .

$0, 18$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 54$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 + 54$

Этап 6.2.2

Добавим $3$ и $54$ .

$f' (- 1) = 57$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $57$ .

$57$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $57$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 18)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $81$ .

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 54$ на $9$ .

$f' (9) = 243 - 486$

Этап 7.2.2

Вычтем $486$ из $243$ .

$f' (9) = - 243$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 243$ .

$- 243$

Этап 7.3

При $x = 9$ производная имеет вид $- 243$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 18)$ .

Убывание на $(0, 18)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(18, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $19$ .

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

Этап 8.2.1.2

Умножим $3$ на $361$ .

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 54$ на $19$ .

$f' (19) = 1083 - 1026$

Этап 8.2.2

Вычтем $1026$ из $1083$ .

$f' (19) = 57$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $57$ .

$57$

Этап 8.3

При $x = 19$ производная имеет вид $57$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(18, \infty)$ .

Возрастание в области $(18, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0), (18, \infty)$

Убывание на: $(0, 18)$

Этап 10