Математический анализ Примеры

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Этап 1

Запишем $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.1.2.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $48$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64 x$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Этап 2.1.4.3

Умножим $- 64$ на $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Этап 3.2.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 3.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 3.2.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 3.2.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 3.2.2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 3.2.2.3.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 3.2.2.3.5

Вычтем $9$ из $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 3.2.2.3.6

Умножим $24$ на $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Этап 3.2.2.3.7

Добавим $- 8$ и $24$ .

$16 - 16$

Этап 3.2.2.3.8

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 3.2.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Этап 3.2.2.5

Разделим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Этап 3.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Этап 3.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 3.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 3.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 3.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 3.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 3.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 3.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 3.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Этап 3.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Этап 3.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Этап 3.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Этап 3.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Этап 3.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Этап 3.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 8 x + 16$

Этап 3.2.2.6

Запишем $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ в виде набора множителей.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Этап 3.2.3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем многочлен.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 3.2.3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Этап 3.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.5

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.5.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = 1, 4$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $1, 4$ .

$1, 4$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Этап 6.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Этап 6.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 36$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Этап 6.2.1.5

Умножим $96$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Этап 6.2.2.3

Вычтем $64$ из $0$ .

$f' (0) = - 64$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 64$ .

$- 64$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- 64$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 1)$ .

Убывание на $(- \infty, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 {(\frac{5}{2})}^{3} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{8}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 (2)}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 \cdot 2}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.6

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{25}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 36$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 (- 9) (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 \cdot (- 9 (\frac{25}{4})) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 9 \cdot 25 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.9

Умножим $- 9$ на $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $96$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 (48) (\frac{5}{2}) - 64$

Этап 7.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 \cdot (48 (\frac{5}{2})) - 64$

Этап 7.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 48 \cdot 5 - 64$

Этап 7.2.1.11

Умножим $48$ на $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 240 - 64$

Этап 7.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Запишем $- 225$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} + 240 - 64$

Этап 7.2.2.2

Умножим $\frac{- 225}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} \cdot \frac{2}{2} + 240 - 64$

Этап 7.2.2.3

Умножим $\frac{- 225}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + 240 - 64$

Этап 7.2.2.4

Запишем $240$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} - 64$

Этап 7.2.2.5

Умножим $\frac{240}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} \cdot \frac{2}{2} - 64$

Этап 7.2.2.6

Умножим $\frac{240}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} - 64$

Этап 7.2.2.7

Запишем $- 64$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1}$

Этап 7.2.2.8

Умножим $\frac{- 64}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.2.9

Умножим $\frac{- 64}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 225 \cdot 2 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $- 225$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $240$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 64 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4.3

Умножим $- 64$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 128}{2}$

Этап 7.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Вычтем $450$ из $125$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 325 + 480 - 128}{2}$

Этап 7.2.5.2

Добавим $- 325$ и $480$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{155 - 128}{2}$

Этап 7.2.5.3

Вычтем $128$ из $155$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{27}{2}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{27}{2}$ .

$\frac{27}{2}$

Этап 7.3

При $x = \frac{5}{2}$ производная имеет вид $\frac{27}{2}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, 4)$ .

Возрастание в области $(1, 4)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = 4 {(5)}^{3} - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f' (5) = 4 \cdot 125 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Этап 8.2.1.2

Умножим $4$ на $125$ .

$f' (5) = 500 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Этап 8.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (5) = 500 - 36 \cdot 25 + 96 (5) - 64$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 36$ на $25$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 96 (5) - 64$

Этап 8.2.1.5

Умножим $96$ на $5$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 480 - 64$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $900$ из $500$ .

$f' (5) = - 400 + 480 - 64$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 400$ и $480$ .

$f' (5) = 80 - 64$

Этап 8.2.2.3

Вычтем $64$ из $80$ .

$f' (5) = 16$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $16$ .

$16$

Этап 8.3

При $x = 5$ производная имеет вид $16$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(4, \infty)$ .

Возрастание в области $(4, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(1, 4), (4, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 1)$

Этап 10