Математический анализ Примеры

$- x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Этап 1

Запишем $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ в виде функции.

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $- 3 x^{2} + 12 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 12 x$ .

$- 3 x^{2} + 12 x$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 12 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $12 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 4 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x (x) - 3 x (- 4)$ .

$- 3 x (x - 4) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 4$ .

$0, 4$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 12 (- 1)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 12$

Этап 6.2.2

Вычтем $12$ из $- 3$ .

$f' (- 1) = - 15$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 15$ .

$- 15$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 15$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - 3 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 4 + 12 (2)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f' (2) = - 12 + 12 (2)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $12$ на $2$ .

$f' (2) = - 12 + 24$

Этап 7.2.2

Добавим $- 12$ и $24$ .

$f' (2) = 12$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 7.3

При $x = 2$ производная имеет вид $12$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 4)$ .

Возрастание в области $(0, 4)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = - 3 {(5)}^{2} + 12 (5)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot 25 + 12 (5)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 3$ на $25$ .

$f' (5) = - 75 + 12 (5)$

Этап 8.2.1.3

Умножим $12$ на $5$ .

$f' (5) = - 75 + 60$

Этап 8.2.2

Добавим $- 75$ и $60$ .

$f' (5) = - 15$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 15$ .

$- 15$

Этап 8.3

При $x = 5$ производная имеет вид $- 15$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(4, \infty)$ .

Убывание на $(4, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, 4)$

Убывание на: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

Этап 10