Математический анализ Примеры

$- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$

Этап 1

Приравняем $- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$ к $0$ .

$- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{3}$ .

$3 (- x^{3}) + 21 x^{2} - 42 x + 24 = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $21 x^{2}$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) - 42 x + 24 = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 42 x$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 24 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (8) = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (8) = 0$

Этап 2.1.1.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (- 14 x)$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x) + 3 (8) = 0$

Этап 2.1.1.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x) + 3 (8)$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x + 8) = 0$

Этап 2.1.2

Перегруппируем члены.

$3 (- x^{3} + 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$3 (- (x^{3}) + 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.3.2

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$3 (- (x^{3}) - 1 \cdot - 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - 1 (- 8)$ .

$3 (- (x^{3} - 8) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$3 (- (x^{3} - 2^{3}) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.5

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.6.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{2} - 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{2}$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x) - 14 x) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $7 x$ из $- 14 x$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (- 2)) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (x) + 7 x (- 2)$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.8

Вынесем множитель $x - 2$ из $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + 7 x (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.8.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $7 x (x - 2)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (7 x)) = 0$

Этап 2.1.8.3

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (7 x)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x)) = 0$

Этап 2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$3 ((x - 2) (- 1 x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Этап 2.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Этап 2.1.10.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 2 x - 4 + 7 x)) = 0$

Этап 2.1.11

Добавим $- 2 x$ и $7 x$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 5 x - 4)) = 0$

Этап 2.1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 5 (x) - 4)) = 0$

Этап 2.1.12.1.1.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$3 ((x - 2) (- x^{2} + (1 + 4) x - 4)) = 0$

Этап 2.1.12.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 1 x + 4 x - 4)) = 0$

Этап 2.1.12.1.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + x + 4 x - 4)) = 0$

Этап 2.1.12.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$3 ((x - 2) ((- x^{2} + x) + 4 x - 4)) = 0$

Этап 2.1.12.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 ((x - 2) (x (- x + 1) - 4 (- x + 1))) = 0$

Этап 2.1.12.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 1$ .

$3 ((x - 2) ((- x + 1) (x - 4))) = 0$

Этап 2.1.12.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 ((x - 2) (- x + 1) (x - 4)) = 0$

Этап 2.1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 2) (- x + 1) (x - 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4

Приравняем $- x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- x + 1$ к $0$ .

$- x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 2) (- x + 1) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 2, 1, 4$

Этап 3