Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Этап 1.1.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 x \ln (x) + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2.2

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Этап 1.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Этап 1.1.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Этап 1.1.2.4.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 \ln (x) = - 3$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $2 \ln (x) = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 \ln (x) = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Этап 1.2.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 1.2.5

Перепишем $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Этап 1.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.11$ .

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $2 \ln (0.11)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

Этап 4.2.1.2

Возведем $0.11$ в степень $2$ .

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\ln (0.0121) + 3$ .

$\ln (0.0121) + 3$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , поскольку $f'' (0.11)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

Этап 5.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $\ln (9) + 3$ .

$\ln (9) + 3$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , поскольку $f'' (3)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7