Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 25}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 25})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.3.2

Умножим $x^{2} - 25$ на $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.3.5

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - x (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.1.1.9

Объединим $4$ и $\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.1.10.2.2

Умножим $4$ на $- 25$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 100}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 100) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.2

По правилу суммы производная $- 4 x^{2} - 100$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 100)) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.6

Поскольку $- 100$ является константой относительно $x$ , производная $- 100$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.7

Добавим $- 8 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 100) (2 (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25)))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} (- 25)))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.4

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 100) (2 \cdot ((x^{2} - 25) x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} - 100) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} - 25)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} - 25)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} - 25) (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} - 25) - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Перенесем $- 25$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 25 \cdot x^{2} - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Умножим $- 25$ на $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.2

Вычтем $25 x^{2}$ из $- 25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (- 50 x^{2}) - 8 \cdot 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.6.1

Умножим $- 50$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} + 400 x^{2} - 8 \cdot 625) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.6.2

Умножим $- 8$ на $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} + 400 x^{2} - 5000) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{2} x - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{1 + 2} - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.9.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} - 4 \cdot - 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{2 + 1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + (16 x^{2} + 400) (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11

Развернем $(16 x^{2} + 400) (x^{3} - 25 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} (x^{3} - 25 x) + 400 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} (- 25 x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{2} x) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 (x \cdot x^{2})) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 (x \cdot x^{2})) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{1 + 2}) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 25 x^{3}) + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Умножим $16$ на $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 400 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Умножим $- 25$ на $400$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.2

Добавим $- 400 x^{3}$ и $400 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} + 0 - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.3

Добавим $16 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x + 16 x^{5} - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.2

Добавим $- 8 x^{5}$ и $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 400 x^{3} - 5000 x - 10000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.3

Вычтем $10000 x$ из $- 5000 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 400 x^{3} - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x^{5} + 400 x^{3} - 15000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 400 x^{3} - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $8 x$ из $400 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2}) - 15000 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $8 x$ из $- 15000 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2}) + 8 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (x^{4}) + 8 x (50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 8 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 8 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} + 50 u - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4

Разложим $u^{2} + 50 u - 1875$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 1875$ , а сумма — $50$ .

$- 25, 75$

Этап 1.1.2.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 25) (u + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((x^{2} - 25) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.6

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.5.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 5^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.5.2

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{((x + 5) (x - 5))}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.5.3

Применим правило умножения к $(x + 5) (x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.6

Сократим общий множитель $x + 5$ и ${(x + 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.6.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $8 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.6.2.1

Вынесем множитель $x + 5$ из ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Этап 1.1.2.5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x + 5) ((8 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Этап 1.1.2.5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(8 x (x - 5)) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.7

Сократим общий множитель $x - 5$ и ${(x - 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.7.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $(8 x (x - 5)) (x^{2} + 75)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.7.2.1

Вынесем множитель $x - 5$ из ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Этап 1.1.2.5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((8 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Этап 1.1.2.5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 x (x^{2} + 75) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 75 = 0$

Этап 1.2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.3.3

Приравняем $x^{2} + 75$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Приравняем $x^{2} + 75$ к $0$ .

$x^{2} + 75 = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Решим $x^{2} + 75 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Вычтем $75$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 75$

Этап 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 75}$

Этап 1.2.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 75}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.3.1

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (75)}$

Этап 1.2.3.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$

Этап 1.2.3.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{75}$

Этап 1.2.3.3.2.3.4

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.3.4.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}$

Этап 1.2.3.3.2.3.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.3.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (5 \sqrt{3})$

Этап 1.2.3.3.2.3.6

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \pm 5 i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5 i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5 i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5 i \sqrt{3}, - 5 i \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 x (x^{2} + 75) = 0$ верно.

$x = 0, 5 i \sqrt{3}, - 5 i \sqrt{3}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 25$

Этап 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 2.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 5, - 5}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 5, - 5}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 5)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{8 (- 8) ({(- 8)}^{2} + 75)}{{((- 8) + 5)}^{3} {((- 8) - 5)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $8$ на $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 8 + 5)}^{3} {(- 8 - 5)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 8$ и $5$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 3)}^{3} {(- 8 - 5)}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $5$ из $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{{(- 3)}^{3} {(- 13)}^{3}}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{- 27 {(- 13)}^{3}}$

Этап 4.2.2.4

Возведем $- 13$ в степень $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 ({(- 8)}^{2} + 75)}{- 27 \cdot - 2197}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 (64 + 75)}{- 27 \cdot - 2197}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $64$ и $75$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 \cdot 139}{- 27 \cdot - 2197}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 27$ на $- 2197$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 64 \cdot 139}{59319}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $- 64$ на $139$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 8896}{59319}$

Этап 4.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 8) = - \frac{8896}{59319}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{8896}{59319}$ .

$- \frac{8896}{59319}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 5)$ , поскольку $f'' (- 8)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 5)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 5, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{8 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 75)}{{((- 2) + 5)}^{3} {((- 2) - 5)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $8$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{{(- 2 + 5)}^{3} {(- 2 - 5)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 2$ и $5$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{3^{3} {(- 2 - 5)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $5$ из $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{3^{3} {(- 7)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{27 {(- 7)}^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 75)}{27 \cdot - 343}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 (4 + 75)}{27 \cdot - 343}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $4$ и $75$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 \cdot 79}{27 \cdot - 343}$

Этап 5.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $27$ на $- 343$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 \cdot 79}{- 9261}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $- 16$ на $79$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1264}{- 9261}$

Этап 5.2.4.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f'' (- 2) = \frac{1264}{9261}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{1264}{9261}$ .

$\frac{1264}{9261}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 5, 0)$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 5, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(0, 5)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 (2) ({(2)}^{2} + 75)}{{((2) + 5)}^{3} {((2) - 5)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $8$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{{(2 + 5)}^{3} {(2 - 5)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $2$ и $5$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{7^{3} {(2 - 5)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{7^{3} {(- 3)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{343 {(- 3)}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 75)}{343 \cdot - 27}$

Этап 6.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (4 + 75)}{343 \cdot - 27}$

Этап 6.2.3.2

Добавим $4$ и $75$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot 79}{343 \cdot - 27}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $343$ на $- 27$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot 79}{- 9261}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $16$ на $79$ .

$f'' (2) = \frac{1264}{- 9261}$

Этап 6.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (2) = - \frac{1264}{9261}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{1264}{9261}$ .

$- \frac{1264}{9261}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(0, 5)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(0, 5)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(5, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f'' (8) = \frac{8 (8) ({(8)}^{2} + 75)}{{((8) + 5)}^{3} {((8) - 5)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $8$ на $8$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{{(8 + 5)}^{3} {(8 - 5)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $8$ и $5$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{13^{3} {(8 - 5)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $5$ из $8$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{13^{3} \cdot 3^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $13$ в степень $3$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{2197 \cdot 3^{3}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (8) = \frac{64 (8^{2} + 75)}{2197 \cdot 27}$

Этап 7.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f'' (8) = \frac{64 (64 + 75)}{2197 \cdot 27}$

Этап 7.2.3.2

Добавим $64$ и $75$ .

$f'' (8) = \frac{64 \cdot 139}{2197 \cdot 27}$

Этап 7.2.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $2197$ на $27$ .

$f'' (8) = \frac{64 \cdot 139}{59319}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $64$ на $139$ .

$f'' (8) = \frac{8896}{59319}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $\frac{8896}{59319}$ .

$\frac{8896}{59319}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(5, \infty)$ , поскольку $f'' (8)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(5, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 5)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 5, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(0, 5)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(5, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9