Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- 2}{x^{2} + 5}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2} + 5})$

Этап 1.1.1.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x^{2} + 5}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$ .

$f' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2} + 5}$

Этап 1.1.1.1.3

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 5}$ в виде ${(x^{2} + 5)}^{- 1}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{- 1}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = - 2 (- {(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (x) = 2 ({(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))$

Этап 1.1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = 2 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))$

Этап 1.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (5))$

Этап 1.1.1.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 1.1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 2 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.1.1.3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 5)}^{- 2} x$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}) \cdot x$

Этап 1.1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 5)}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.1.4.2.2

Объединим $\frac{4}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}})$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 5)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из ${(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $- 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}})$

Этап 1.1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из ${(x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 5 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}})$

Этап 1.1.2.16

Объединим $4$ и $\frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.17.2.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.2.2

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 20}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.3

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x^{2} + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.17.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 20}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.3.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 3 x^{2}) + 4 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2}) + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.5

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 5)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (3 x^{2} - 5) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $4 (3 x^{2} - 5) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим каждый член $4 (3 x^{2} - 5) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x^{2} - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 5$ на $1$ .

$3 x^{2} - 5 = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$3 x^{2} - 5 = 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 5$

Этап 1.2.3.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 1.2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 1.2.3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{3}$

Этап 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

Этап 1.2.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 1.2.3.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.3.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.2.3.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 1.2.3.5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Этап 1.2.3.5.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

Этап 1.2.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Этап 1.2.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Этап 1.2.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{- 2}{x^{2} + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 2}{x^{2} + 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 5$

Этап 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Этап 2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{5}$

Этап 2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{5}$

Этап 2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 2.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (3 {(- 4)}^{2} - 5)}{{({(- 4)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (3 \cdot 16 - 5)}{{({(- 4)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (48 - 5)}{{({(- 4)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 4.2.1.3

Вычтем $5$ из $48$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 43}{{({(- 4)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 43}{{(16 + 5)}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $16$ и $5$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 43}{21^{3}}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $21$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 43}{9261}$

Этап 4.2.3

Умножим $4$ на $43$ .

$f'' (- 4) = - \frac{172}{9261}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{172}{9261}$ .

$- \frac{172}{9261}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{3})$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (3 {(0)}^{2} - 5)}{{({(0)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (3 \cdot 0 - 5)}{{(0^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 5)}{{(0^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 5}{{(0^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 5}{5^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 5}{125}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f'' (0) = - \frac{- 20}{125}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $- 20$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$f'' (0) = - \frac{5 (- 4)}{125}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$f'' (0) = - \frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Этап 5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = - \frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Этап 5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = - \frac{- 4}{25}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = \frac{4}{25}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3})$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = - \frac{4 (3 {(4)}^{2} - 5)}{{({(4)}^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = - \frac{4 (3 \cdot 16 - 5)}{{(4^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (4) = - \frac{4 (48 - 5)}{{(4^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $5$ из $48$ .

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 43}{{(4^{2} + 5)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 43}{{(16 + 5)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $16$ и $5$ .

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 43}{21^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $21$ в степень $3$ .

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 43}{9261}$

Этап 6.2.3

Умножим $4$ на $43$ .

$f'' (4) = - \frac{172}{9261}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{172}{9261}$ .

$- \frac{172}{9261}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{15}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8