Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Этап 1.1.1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 41$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Этап 1.1.1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

Этап 1.1.1.2.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

Этап 1.1.1.2.6

Поскольку $41$ является константой относительно $x$ , производная $41$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

Этап 1.1.1.2.7

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ .

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

Этап 1.1.1.3.2

Умножим $2 x - 8$ на $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 1.1.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 1.1.1.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 1.1.1.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.4.2

Умножим $x^{2} - 8 x + 41$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 41$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.7

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.9

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.10

Поскольку $41$ является константой относительно $x$ , производная $41$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.11.1

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Этап 1.1.2.3.11.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.3.1.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.2

Умножим $2$ на $41$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.4

Развернем $(- x + 4) (2 x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1.4

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1.5

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.5.1.6

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.5.2

Добавим $8 x$ и $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.3.1.7.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.7.2

Умножим $16$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.1.7.3

Умножим $2$ на $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.3

Добавим $- 16 x$ и $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.3.4

Вычтем $64$ из $82$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.4.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.4.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.2.1.2

Запишем $8$ как $- 1$ плюс $9$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.4.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.4.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.8

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.10

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Этап 1.2.3.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.3.3

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 1.2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ верно.

$x = - 1, 9$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим аргумент в $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Этап 2.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = 41$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.3

Вычтем $164$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.4

Перепишем $- 100$ в виде $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (100)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.7

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.9

Перенесем $10$ влево от $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Этап 2.2.4.3

Упростим $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Этап 2.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.3

Вычтем $164$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4

Перепишем $- 100$ в виде $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (100)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.7

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.9

Перенесем $10$ влево от $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Этап 2.2.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Этап 2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 4 + 5 i$

Этап 2.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.3

Вычтем $164$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4

Перепишем $- 100$ в виде $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (100)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.7

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.9

Перенесем $10$ влево от $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Этап 2.2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Этап 2.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 4 - 5 i$

Этап 2.2.7

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$x^{2}$

Этап 2.2.7.2

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$1$

Этап 2.2.8

Поскольку реальные пересечения с осью X отсутствуют и старший коэффициент положителен, концы параболы направлены вверх, и $x^{2} - 8 x + 41$ всегда больше $0$ .

Все вещественные числа

Этап 2.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Этап 4.2.1.3

Вычтем $9$ из $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

Этап 4.2.2.3

Добавим $16$ и $32$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

Этап 4.2.2.4

Добавим $48$ и $41$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

Этап 4.2.2.5

Возведем $89$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

Этап 4.2.3

Умножим $- 6$ на $- 13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 1, 9)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Вычтем $9$ из $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

Этап 5.2.2.4

Добавим $0$ и $41$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

Этап 5.2.2.5

Возведем $41$ в степень $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{18}{1681}$ .

$\frac{18}{1681}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 1, 9)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 1, 9)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(9, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $12$ .

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $12$ и $1$ .

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $13$ .

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $9$ из $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 8$ на $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Вычтем $96$ из $144$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Добавим $48$ и $41$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

Этап 6.2.2.5

Возведем $89$ в степень $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

Этап 6.2.3

Умножим $26$ на $3$ .

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(9, \infty)$ , поскольку $f'' (12)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(9, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 1, 9)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(9, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8